Таблиця інтегралів. Формули, правила та приклади

Таблиця інтегралів містить первісні найуживаніших функцій. З нею й кількома правилами інтегрування можна знайти більшість інтегралів шкільного та першого університетського курсу. Нижче зібрано основні формули, правила обчислення й розв’язані приклади, а також показано, як інтеграл допомагає знаходити площі та шлях.

Функцію F(x) називають первісною для f(x) на проміжку, якщо F′(x) = f(x). Сукупність усіх первісних і є невизначеним інтегралом.

∫ f(x) dx = F(x) + C

Тут C є довільною сталою. Вона потрібна, бо похідна будь-якої сталої дорівнює нулю. Функції x², x² + 4 і x² − 7 мають однакову похідну 2x, тому ∫ 2x dx = x² + C.

У кожній формулі C означає довільну сталу.

Формула для степеня не працює при n = −1, бо в знаменнику вийшов би нуль. Цей випадок записано окремим рядком, ∫ dx/x = ln|x| + C. Модуль потрібен, щоб формула діяла і для від’ємних x.

Сталий множник виносять за знак інтеграла, а інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.

∫ (αf(x) + βg(x)) dx = α∫ f(x) dx + β∫ g(x) dx

Наприклад, ∫ (3x² − 2cos x) dx = x³ − 2sin x + C. Сталу C записують один раз, наприкінці відповіді.

Заміна допомагає, коли під інтегралом стоїть складена функція разом із похідною її внутрішньої частини. Позначають u = g(x), тоді du = g′(x) dx, і вираз перетворюється на табличний.

Знайдемо ∫ 2x·cos(x²) dx. Нехай u = x², тоді du = 2x dx. Маємо ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C.

Метод застосовують до добутку функцій, коли одну з них легко диференціювати, а для другої відома первісна.

∫ u dv = uv − ∫ v du

Знайдемо ∫ x·eˣ dx. Візьмемо u = x і dv = eˣ dx. Тоді du = dx, v = eˣ, і ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.

Визначений інтеграл від a до b є числом. Його обчислюють через будь-яку первісну F(x).

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Наприклад, для ∫₀¹ 2x dx первісна F(x) = x², тому ∫₀¹ 2x dx = 1² − 0² = 1.

Під час заміни змінної у визначеному інтегралі змінюють і межі. Для ∫₀¹ 2x·cos(x²) dx після заміни u = x² межі стають u = 0 і u = 1, тож інтеграл дорівнює ∫₀¹ cos u du = sin 1.

Приклад 1. Знайдіть ∫ (4x³ + 3sin x − 2/x) dx.

Інтегруємо кожен доданок за таблицею. Від 4x³ отримуємо x⁴, від 3sin x отримуємо −3cos x, від 2/x отримуємо 2ln|x|.

Відповідь. x⁴ − 3cos x − 2ln|x| + C.

Приклад 2. Знайдіть ∫ dx/(4 + x²).

Це табличний інтеграл 1/(a² + x²) при a = 2.

Відповідь. (1/2)·arctg(x/2) + C.

Приклад 3. Обчисліть ∫₁ᵉ dx/x.

Первісна дорівнює ln|x|, тому інтеграл дорівнює ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.

Відповідь. 1.

Невизначений інтеграл перевіряють диференціюванням. Похідна відповіді має збігтися з підінтегральною функцією. Для прикладу 1 маємо (x⁴ − 3cos x − 2ln|x| + C)′ = 4x³ + 3sin x − 2/x, отже, інтеграл знайдено правильно.

Якщо f(x) ≥ 0 на відрізку [a; b], площа фігури між графіком і віссю Ox дорівнює S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Площа під параболою y = x² від x = 0 до x = 2 дорівнює ∫₀² x² dx = x³/3, обчислене від 0 до 2, тобто 8/3.

Якщо графік опускається нижче осі Ox, інтеграл на цій ділянці від’ємний. Щоб знайти геометричну площу, відрізок розбивають у точках перетину з віссю й додають модулі інтегралів.

Площу між двома графіками, де f(x) ≥ g(x), обчислюють як ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Межі a і b зазвичай знаходять із рівняння f(x) = g(x).

Перевірити себе в завданнях з математики можна в онлайн-симуляції НМТ. Учителям для перевірки знань класу знадобляться готові контрольні роботи з алгебри.